Задание № 810

810. Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность. Решение Пусть в четырёхугольнике ABCD ∠A + ∠C = 180°. Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: А, В и D (рис. 273, а) - и докажем, что она проходит также через вершину С, т. е. является описанной около четырёхугольника ABCD. Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его. Рассмотрим первый случай (рис. 273, б). В этом случае ∠C = ½ (∪DAB + ∪EF) (объясните почему), и, следовательно, ∪C > ½ ∪DAB. Так как ∠A = ½ ∪BED, то ∠A + ∠C > ½ (∪BED + ∪DAB ) = ½ ‧ 360° = 180°. Итак, мы получили, что ∠A + ∠C > 180°. Но это противоречит условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что вершина С не может лежать вне круга. Следовательно, вершина С лежит на окружности, что и требовалось доказать.