Задание № 761

761. Постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную точку вне окружности. Решение Пусть даны окружность с центром О и радиусом R и точка М вне этой окружности. Пусть ОМ = d. Так как точка М - внешняя, то d > R. Допустим, что задача решена и МК - искомая касательная (рис. 254). Так как прямая М К перпендикулярна радиусу ОК, то решение задачи сводится к построению точки К окружности, для которой угол МКО прямой. Эту точку можно построить следующим образом: строим отрезок ОМ и его середину О¹. Затем строим окружность с центром О¹ радиуса О¹М = ½ d. Для этих двух окружностей расстояние между их центрами меньше суммы радиусов (½ d < R + ½ d), поэтому окружности пересекаются в двух точках К и К¹. Прямые МК и МК¹ - искомые касательные, так как МК ⊥ ОК и МК ⊥ ОК¹. Действительно, углы МКО и МК¹О, вписанные в окружность с центром O¹ опираются на полуокружности, поэтому они прямые. Как видно из решения, задача имеет два решения.