Задание № 496

496 Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали. Решение в) Даны три отрезка M¹JV¹, M²N², M³N³ (рис. 197, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам M¹N¹ и M²N², а диагональ BD равна отрезку M³N³. Анализ Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 197, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M¹N¹, M²N² и M³N³. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD , а затем достроить его до параллелограмма ABCD. Построение Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и BD равнялись соответственно отрезкам M¹N¹, M²N², и M³N³ (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно ADy и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно АВ (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 197, в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм. Доказательство По построению АВ || CD и ВС || AD, поэтому ABCD — параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам M¹N¹ и M²N², а диагональ BD равна отрезку M³N³, т. е. параллелограмм ABCD - искомый. Исследование Ясно, что если по трём данным отрезкам M¹N¹, M²N² и M³N³ можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник АВD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача имеет решение, то это решение единственно (см. п. 38).