Задание № 485

485. Докажите признак средней линии треугольника. Через середину М стороны АВ треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что MN — средняя линия треугольника ABC. Решение Через точку С проведём прямую, параллельную прямой АВ, и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 195). Так как АМ = МВ по условию, a MB = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM , то A M = DC. Треугольники AMN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (AM = CD, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и MD), поэтому AN = NC. Получаем, что по определению отрезок MN является средней линией треугольника ABC.