Задание № 158

158. Даны прямая а и точка М , не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а. Решение Построим окружность с центром в данной точке М , пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и В (рис. 97). Затем построим две окружности с центрами А и В, проходящие через точку М . Эти окружности пересекаются в точке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведём прямую MN и докажем, что эта прямая - искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а. В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что отрезок МС (С — точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, M N ⟂ АВ, т. е. MN ⟂ а.